小4/公文：数学I「ピタゴラスの定理」と可哀そうなヒッパソス

2019年8月24日2019年08月（小4）

2019年8月24日（土）、朝。

 

僕：「公文数学の復習プリントで、ピタゴラスの定理を出して。」

 

娘：「？。これでしょ。これがどうしたの？」

 

数学I172の三平方の定理。

 

その上で、以下を音読してもらいました。

 

=quote=

『Newton 虚数がよくわかる』

 

ピタゴラスは有理数が数の全てであると信じた

 

ピタゴラスは紀元前582年ころ、ギリシア東南部のサモス島に生まれた。前530年ころピタゴラスは、南イタリアのクロトンで、宗教・哲学・政治を学ぶ一種の宗教集団を開き、何百人もの弟子と生活した。

 

（割愛）

 

紀元前6世紀のピタゴラスは、有理数が数のすべてであり、有理数であらわせないものはないと解いた。

 

ところが事件はおきた。ピタゴラスの弟子ヒッパソスが、「有理数では決してあらわせない量

」を発見してしまったのだ。

 

その量は、「正方形の対角線」にひそんでいた。ピタゴラスが証明したとされる「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」によれば、正方形の1辺の長さが1のとき、対角線の長さは「2乗して2になる数」、すなわち「2の平方根（√2）である。だが、ヒッパソスは、この√2が有理数ではないことを知ってしまった。

 

ピタゴラスの教えにそむく発見に、ほかの弟子たちは驚いた。そして、この発見を秘密にするため、ヒッパソスは溺死させられてしまったという言い伝えがある。

=unquote=

 

娘：「うわー、凄いね。殺されてしまったのか。。」

 

僕：「では、√2が有理数ではないことの証明をしてみよう。」

 

娘が書き進めていく。

 

娘：「なるほど、偶数は2kで表せるね。」

 

 

・・・ここまで書いて、

 

娘：「ん？これは、おかしいね。絶対におかしい。mもnも偶数になるということは、m/nは約分できちゃうから。分数？なんかおかしい。なるほど、ヒッパソスは頭いいね。可哀そうな結果になったけど。」

 

僕も驚きました。娘がここまでの論理展開能力を獲得していたとは。ただ、まだ言葉では表現できないようです。以下が説明。

 

=quote=

(p.26)

すると、mもnも偶数ということになり、これは冒頭の「√2はこれ以上約分できない一つの分数うであらわせる」に矛盾してしまう。したがって、√2が有理数であるという仮説は誤りだとわかるので、√2は有理数ではない、つまり無理数であることが証明された。

 

このような、ある仮定をすると、矛盾が生じるため、その仮定が成り立たないことを示すことで、ある事柄を証明する方法を「背理法」という。

=unquote=

 

背理法で思い出すのが、「明日への算数」での「うそつきはだれ」。なるほどー、繋がってきますね。キッズBEEとかジュニア算オリは、その問題への準備をする意味はあまり無いと思いますが、論理的思考能力が「あるかどうか」のリトマス試験紙にはなり得ますね。

 

 

★現時点の立ち位置：

・資源配分比率：サピックス50%、中学入学後50%

①公文：数学J(=高校基礎)/上位0.2%【2019年01月29日から】